Reproducing Polynomials with B-Splines: Unterschied zwischen den Versionen
Niki (Diskussion | Beiträge) |
Niki (Diskussion | Beiträge) |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| − | A B-Spline of order <math>N</math> is known to be able to reproduce any polynomial up to order <math>N</math>: | + | A B-Spline of order <math>N</math> is known to be able to reproduce any polynomial up to order <math>N</math><ref>I.J. Schoenberg: Cardinal interpolation and spline functions</ref>: |
<math> | <math> | ||
| Zeile 8: | Zeile 8: | ||
An important question is how to obtain the coefficients <math>c_{m,n}</math> for the reproduction-formula. In this small article, I describe one way. | An important question is how to obtain the coefficients <math>c_{m,n}</math> for the reproduction-formula. In this small article, I describe one way. | ||
| + | |||
| + | <references/> | ||
Version vom 19. Juli 2010, 15:13 Uhr
A B-Spline of order Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} is known to be able to reproduce any polynomial up to order Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} [1]:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_{m,n} \beta_N (t - n) = t^m }
In words, a proper linear combination of shifted versions of a B-Spline can reproduce any polynomial up to order Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} . This is needed for different applications, for example, for the Sampling at Finite Rate of Innovation (FRI) framework. In this case any kernel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} reproducing polynomials (that is, satisfying the Strang-Fix conditions) can be used. However, among all possible kernels, the B-Splines have the smallest possible support.
An important question is how to obtain the coefficients Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{m,n}} for the reproduction-formula. In this small article, I describe one way.
- ↑ I.J. Schoenberg: Cardinal interpolation and spline functions
