Reproducing Polynomials with B-Splines

A B-Spline of order $N$ is known to be able to reproduce any polynomial up to order $N$:

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{m,n}\beta _{N}(t-n)=t^{m}$

In words, a proper linear combination of shifted versions of a B-Spline can reproduce any polynomial up to order $N$. This is needed for different applications, for example, for the Sampling at Finite Rate of Innovation (FRI) framework. In this case any kernel $\varphi$ reproducing polynomials (that is, satisfying the Strang-Fix conditions) can be used. However, among all possible kernels, the B-Splines have the smallest possible support.

An important question is how to obtain the coefficients $c_{m,n}$ for the reproduction-formula. In this small article, I describe one way.

Starting from

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{m,n}\varphi (t-n)=t^{m}$

the coefficients can be obtained using the dual of $\varphi$, ${\tilde {\varphi }}$ (I set $\beta _{N}=\varphi$ for consistency with my notes):

$c_{m,n}=\int _{-\infty }^{\infty }t^{m}{\tilde {\varphi }}(t-n)\,dt$

However, even if the dual would be known, solving the infinite integral is only feasible when the dual has finite support. This is the case with the B-Spline itself but not with its dual!

A closer look at the formula tells that this is nothing more than a convolution (under the assumption that ${\tilde {\varphi }}$ is symmetric which is the case):

$c_{m,n}=\int t^{m}{\tilde {\varphi }}(-(n-t))\,dt=\int t^{m}{\tilde {\varphi }}(n-t)\,dt=(t^{m}*{\tilde {\varphi }})(n)$

Now, this can be transformed to fourier domain:

$(t^{m}*{\tilde {\varphi }})(n)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\left\{t^{m}\right\}{\tilde {\Phi }}(\omega )\right\}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{j^{m}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega ){\tilde {\Phi }}(\omega )\right\}=j^{m}{\sqrt {2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\delta ^{(n)}(\omega ){\tilde {\Phi }}(\omega )\right\}$

Writing the inverse of this expression yields:

$j^{m}{\sqrt {2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\pi }^{\pi }\delta ^{(n)}(\omega ){\tilde {\Phi }}(\omega )e^{j\omega n}\,d\omega =j^{m}\int _{-\infty }^{\infty }\delta ^{(n)}(\omega )\underbrace {{\tilde {\Phi }}(\omega )e^{j\omega n}} _{f(\omega )}\,d\omega$

It is known that:

$\int \delta ^{(n)}(x)f(x)\,dx=(-1)^{n}f^{(n)}(0)$

so that

$j^{m}\int _{-\infty }^{\infty }\delta ^{(n)}(\omega )f(\omega )\,d\omega =j^{m}(-1)^{m}\left.{\frac {\partial ^{m}}{\partial \omega ^{m}}}f(\omega )\right|_{\omega =0}$

Now the whole procedure has been reduced to calculate the derivative of $f(\omega )$ and set the result to zero.

An open question is how to obtain the dual of $\varphi$. As the reproduction formula spans a vector space, the $\varphi$ must be at least bi-orthogonal to ${\tilde {\varphi }}$. This translates in fourier domain to:

${\tilde {\Phi }}(\omega )={\frac {\Phi (\omega )}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }|\Phi (\omega +2\pi k)|^{2}}}$

The fourier transform of a B-Spline of order Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} is (e.g. ):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Beta_N(\omega) = \Phi(\omega) = \left( \frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2} \right)^{N+1} = \mathrm{sinc}^{N+1}(\omega/2) }

The following derivation of the sum is borrowed from . For this derivation to work, I set Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=N+1} temprarily:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} |\Phi(\omega + 2\pi k)|^2 = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left|\mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2}(\omega + 2\pi k)\right)^L \right|^2 = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left|\mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2}(\omega + 2\pi k)\right) \right|^{2L} }

and because Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2L} is always even:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \sum_{k \in \mathbb{Z}}\frac{\sin^{2L}(\frac{1}{2}(\omega + 2\pi k))}{\left(\frac{1}{2}(\omega + 2\pi k)\right)^{2L}} = \sum_{k \in \mathbb{Z}}\frac{\sin^{2L}(\frac{\omega}{2} + \pi k))}{(\frac{\omega}{2} + \pi k)^{2L}} }

Because of the periodicity it is known that

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin^{2L}(x + \pi k) = \sin^{2L}(x) }

such that

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And finally the following relation is used:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_k \frac{1}{(x + \pi k)^{2L}} = -\frac{1}{(2L-1)!} \frac{d^{2L-1}}{dx^{2L-1}} \cot{x} }

in order to finally obtain:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left|\mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2}(\omega + 2\pi k)\right)^L \right|^2 = -\sin^{2L}\left(\frac{\omega}{2}\right) \frac{1}{(2L-1)!} \frac{d^{2L-1}}{d\left(\frac{\omega}{2}\right)^{2L-1}} \cot{\left(\frac{\omega}{2}\right)} }

and with Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L = N+1} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} |\Phi(\omega + 2\pi k)|^2 = -\sin^{2(N+1)}\left(\frac{\omega}{2}\right) \frac{1}{(2N+1)!} \frac{d^{2N+1}}{d\left(\frac{\omega}{2}\right)^{2N+1}} \cot{\left(\frac{\omega}{2}\right)} }

Therefore, together with Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi(\omega)} this yields:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{\Phi}(\omega) = \frac{(2N+1)!}{\left(\frac{\omega}{2}\right) \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)^{N+1} \frac{d^{2N+1}}{d\left(\frac{\omega}{2}\right)^{2N+1}} \cot{\left(\frac{\omega}{2}\right)}} }

and finally substituting for $t(\omega )$:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\omega) = \frac{(2N+1)!}{\left(\frac{\omega}{2}\right) \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)^{N+1} \frac{d^{2N+1}}{d\left(\frac{\omega}{2}\right)^{2N+1}} \cot{\left(\frac{\omega}{2}\right)}} e^{j \omega n} }

As this function is not well defined it is better to use the limit:

$c_{m,n}=j^{m}\lim _{\omega \rightarrow 0}f(\omega )$

For a cubic spline (N=3) the coefficients are:

$c_{0,n}=1$

$c_{1,n}=n$

$c_{2,n}={\frac {1}{3}}\left(-1+3n^{2}\right)$

$c_{3,n}=-n+n^{3}$