Siegenthaler bound verständlich erklärt

Bei Streamciphers in der Kryptographie ist es sehr wichtig, einen Keystream zu erstellen, der möglichst wenige Rückschlüsse auf den verschlüsselten Plaintext zulässt. Da eine Streamcipher eine Erweiterung der Vernam-Cipher ist, wird dabei der Plaintext einfach mit dem Ciphertext addiert (modulo 2):

$CT=PT\oplus KS$

Damit die Cipher sicher ist, soll der Keystream KS ein paar nette Eigenschaften haben:

• Der Keystream soll wie Rauschen aussehen, das bedeutet die Autokorrelation soll sehr niedrig sein
• Die lineare Komplexität ${\mathcal {L}}$ der Folge soll möglichst hoch sein, damit die Folge eine möglichst hohe Periode hat
• Die Folge soll von nicht-linearen Funktionen erzeugt werden (d.h. von keinem (reinen) LFSR) oder zumindest von einer Kombination aus nichtlinearen Funktionen, da für jede lineare Kombination aus LFSRs mit Berlekamp-Massey in $O(n^{p})$ eine alternative Darstellung als LFSR gefunden werden kann die höchstens so hoch ist, wie die LFSRs zusammen.

Siegenthaler hat 1984 gezeigt dass diese Anforderungen zum Teil im Widerspruch stehen. Da ich nach langem Suchen keine schöne Erklärung zum Siegenthaler bound, der correlation immunity und dem nonlinear order gefunden habe, versuche ich hier selbst eine verständliche Erklärung.

Siegenthaler bound

Der Siegenthaler Bound ist definiert mit:

If $f$ has $n$ inputs and $f$ is $m$-th order correlation immune, then the nonlinear order of $f$ is at most $n-m$. Mathematisch:

$n-m\leq d$

Im Kern besagt dieser Sachverhalt, dass die Nichtlinearität einer booleschen Funktion durch die correlation immunity begrenzt ist und umgekehrt. Bei der Implementation einer Streamcipher durch nichtlineare Kombinationen aus LFSRs muss man also einen Kompromiss zwischen der correlation immunity und dem Grad der Linearität eingehen.

Intuitiv ist der Sachverhalt auch einfach nachvollziehbar: Die Wahrheitstabelle von XOR gibt genau 2 Werte mit 0 aus und 2 mit 1, der Output ist also gleichverteilt. Seien $X_{1}$ und $X_{2}$ zwei zufällige Binärfolgen (niedrige Autokorrelation), dann ergibt

$Y=f(X_{1},X_{2})=X_{1}\oplus X_{2}$

ebenfalls wieder eine zufällige Folge. Verknüpft man nun einen Plaintext mit $Y$, so gibt es keine Korrelation zwischen Ciphertext und Plaintext, da der Output der XOR Funktion gleichverteilt ist. XOR ist eine lineare Funktion.

Anders verhält es sich mit der AND Funktion: Das Ergebnis ist mit einer Wahrscheinlichkeit von ${\frac {3}{4}}$ 0 und nur mit der Wahrscheinlichkeit von ${\frac {1}{4}}$ 1. Sei nun

$Y=f(X_{1},X_{2})=X_{1}\land X_{2}$

so ergibt die Verknüpfung von $Y$ und einem Plaintext zu einem Ciphertext eine hohe Korrelation zwischen Ciphertext und Plaintext, da der Ciphertext mit einer höheren Wahrscheinlichkeit 0 als 1 wird. AND ist eine nichtlineare Funktion und kann als Multiplikation modulo 2 betrachtet werden.